线性代数, 高等代数

1 线性代数 linear algebra

求解线性方程:

高斯消元法(初等变换):

Reduced row echelon form/RREF 化成梯形

x=np.linalg.solve(A, b)

returnbool=np.allclose(np.dot(A, x), b) #验证是否成立

逆矩阵法 $x=A^{-1}b$

vector

内积,$\theta$ 为 u,v向量夹角.

$$u\dot v =\sum_{i=1}^{N}u_iv_i=|u||v|cos\theta$$

$$\theta=\frac{\sum_{i=1}{N}u_iv_i}{|u||v|}$$

Matrix

$$A_{m\times n}B_{n\times q}$$

p=q, $$A_{m\times n}B_{p\times q}=C_{m\times q}$$

矩阵特性:

ABC=A(BC)

A(u+v)=Au+Av

$$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$$

….

矩阵分解

…方阵分解 奇异矩阵分解..

方阵,square Matrix

单位矩阵 identity I

inverse Matrix 逆 $A^{-1}$

$$AB=I \Rightarrow A=B^{-1} $$

可逆vertible, non-singular(成对的),一定是square Matrix

不可逆invertible, singular

特性:

n阶的方阵A => A转置也可逆

n阶A,B分别可逆 => AB相乘之后也可逆

方阵: 可逆 <=> 满秩 等价

$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$

用途:

解线性方程组 Ax=b =>

$$A^{-1}Ax=A^{-1}b \Rightarrow Ix=A^{-1}b $$

求解逆:

$$C[A|I]=[I|B] => CA=I,CI=B=C => A^{-1}=C=B$$

C 等价于初等变换,$C=\prod_i C_i$

rank 秩 ; 线性相关/无关 linear dependent/independent ;

空间 , span A :the span of columns of A

one-to-one onto( 一一映射) => 映射可逆

定义域/值域(domain/range),一一映射 =>定义域/值域 空间大小相同

set A => span S

subspace, 对 加法&数乘 封闭.

$$0 \in V , u+v \in V , cv \in V (c\ is\ a\ scalar) $$

Then span of vectors is a subspace. 向量生成(张成)的空间一定是子空间.反过来也成立

subspace 可以看作是 vectors生成(span)空间

Null space: Av=0的解组成的空间. 同时也是subspace

$$Null A={v\in R^{n}:Av=0 }$$

column space: Col A / row space: Row A ;

$$Col A={Av:v\in R^n}$$

column space == range(值域)

dimension维度

dim(range) + dim(Null)=dim(domain)

dim(range)=rank(A)=dim(Col A)

dim(domain)=n # num of columns #列数

basis 基 ${e_i},i=0,1,2,…,n$

充要条件:1.线性独立independent, 2.生成 R^n

n个基向量 生成R^n 空间.

coordinate system 坐标系

转换: 笛卡尔坐标系D <-> 其他坐标系 B

$$D[v]_D = B[v]_B $$

[v]_D : D坐标系中的向量v.

笛卡尔坐标系 D=I : $[v]_D=B[v]_B ;[v]_B=B^{-1}[v]_D$

一般化: 坐标系之间互转.乘以逆就可以了

$$D[v]_A = B[v]_B $$

定义域对应定义域, 值域对应值域.

$A=P^{-1}BP$ A, B 相似

映射/函数 $[T]_B([v]_B)$ : 在不同坐标系中的转换

deteminant 行列式, 决定因素.

方阵:|A| = scalar ; det(A)= …

公式

cofactor(余子式) Expansion : 子矩阵$A_ij$ ,余子式$c_{ij}$

去除i行,j列后的行列式

$$c_{ij}=(-1)^{i+j}det(A_{ij})$$

一直展开….从n阶到一阶.

一行为0或者两行相同 => det =0;

上三角矩阵=>斜对角矩阵,diag(…)=>提出系数,I =>det(A)=斜对角线相乘.

性质,卡拉姆公式:

det(I)1

两行交换 行列式变号.

“linear” for each row: 每行系数可以提出去;

det([A+B]) != det(A)+det(B)这个不成立; 拆一行成立.

A可逆 <=>det(A)!=0

用途:

提供矩阵的信息

超立方体的超体积